เรียน Special general relativity จากเส้นและมุม : ตอนที่ 1 symmetry & invariant

ผมคิดอยู่นานมาก ว่าจะเขียนเรื่องนี้ดีรึเปล่า เพราะจริงๆก็มีหนังสือที่อธิบายเรื่องที่ผมกำลังจะเขียนไว้ได้ดีมากๆอยู่แล้ว 
ท้ายที่สุด ที่ตัดสินใจเขียนเพราะว่า ดูเหมือนเรื่องที่ผมกำลังจะเขียนเนี่ย ยังไม่ค่อยมีใครพูดถึงในภาษาไทยเท่าไหร่

ในภาษาอังกฤษ มีหนังสือหลายเล่มที่พูดถึงทฤษสัมพัทธภาพแบบที่ผมกำลังจะพูดถึง และเป็นเรื่องที่คนเข้าใจกันดีมากๆๆๆๆอยู่แล้ว ผมเชื่อว่ามีหนังสือที่ใช้ approach คล้ายๆกันกับผมมากกว่าที่ผมเคยอ่านมา ถ้าใครที่สนใจอยากอ่านจากหนังสือที่ผมใช้ ลองดูอย่างเช่น

  • L.D. Landau & E.M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields ( Volume 2 of A Course of Theoretical Physics ) บทที่ 1-3
  • Sean Carroll, Spacetime and Geometry : An Introduction to General Relativity บทที่ 1-2
  • Robert M. Wald, General Relativity บทที่ 1-2
  • B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko & S.P. Novikov, Modern Geometry – Methods and Applications : Part I : Geometry of surfaces, Transformation Groups and Fields บทที่ 1-4,6

ก่อนอื่น เป้าหมายของบทความนี้คือ ให้เด็กๆ อาจจะในค่ายโอลิมปิก หรือปริญญาตรี ที่เคยเรียนทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ(SR) แบบพื้นฐานมาแล้ว และอาจจะยังไม่ได้เรียน สัมพัทธภาพทั่วไป (GR) หรืออาจจะเป็นคนที่อยากรู้เรื่อง SR และ GR แบบจริงจัง ซึ่งผมหวังว่าจะเปิดมุมมองใหม่ที่ทำให้เห็นว่า การมอง SR ในแบบที่ผมกำลังจะเขียนต่อไปนี้ นำไปสู่ทฤษฎีอื่นๆแบบเป็นธรรมชาติมากๆ

อย่างที่สองคือ ผมไม่ชอบคำแปลศัพท์เฉพาะทางเรื่องนี้ในภาษาไทยมากๆ คือมันไม่ทำให้คนไทยอ่านแล้วเข้าใจ แล้วคนที่เคยเรียนเรื่องนี้ในภาษาไทยก็จะลำบากเวลาไปอ่านภาษาอังกฤษ ซึ่งแม่งมีงานเขียนเรื่องนี้เยอะกว่าภาษาไทยมากๆ เพราะงั้นผมจะเขียนทับศัพท์เป็นภาษาอังกฤษแบบไม่ให้ดูกระแดะเกินไป

โอเค เริ่มเลยดีกว่า

เวลาผมบอกว่าวิธีการพูดถึง SR แบบมาตรฐาน (ซึ่งไม่แน่ใจเหมือนกันว่ามาตรฐานของใคร) คือ หนังสือ คอร์ส หรืออะไรก็ตามที่พูดถึง SR ในแง่ของปรัชญาและการทดลองในจินตนาการที่แม่งโคตรเหนือความคาดหมาย อย่างเช่น สมมติฐานของทฤษฎีสัมพัทธภาพคือ

  • กฎของฟิสิกส์ต้องเหมือนกันสำหรับผู้สังเกตการณ์ในทุกๆกรอบอ้างอิง
  • ความเร็วแสงเป็นค่าคงที่ ไม่ขึ้นกับกรอบอ้างอิงผู้สังเกตการณ์

หรือการทดลองในจินตนาการต่างๆ เช่น ถ้าเอากระจกวางไว้หน้าตัวเองแล้ววิ่งด้วยความเร็วแสงจะเกิดอะไรขึ้น หรืออาจจะเป็นการจินตนาการนาฬิกาที่วิ่งด้วยความเร็วใกล้แสง แล้วก็ตามด้วยสถานการณ์บางอย่างที่ส่งผลให้เกิดการ หดสั้นของระยะทาง ( length contraction) การยืดออกของเวลา (time dilation) และตัวอย่างของสถานการณ์ที่ขัดกับ common sense

ไม่ใช่ว่าการสอนแบบที่ว่านี้ไม่ดี แต่ผมมีปัญหากับวิธีการพูดถึง SR แบบนี้อยู่สองสามอย่าง จริงๆก็มีมากกว่านั้นแต่ผมจะยกตัวอย่างปัญหาหลักๆของผมแล้วกัน

  1. สมมติฐานข้อแรกของ SR มันแทบไม่โผล่มาในสมการไหนเลย ต่างกับสมมติฐานข้อสองซึ่งความหมายทางคณิตศาสตร์ชัดเจนมากๆ ถ้าเรามองว่าสองข้อนี้เป็น axioms ของทฤษฎีเรา เราควรจะทำให้มันมีตัวตนในการสอนเรื่องนี้เท่าๆกัน
  2. SR เป็นฐานในการคิดเรื่อง Electromagnetic (EM) theory ของ Maxwell ที่สำคัญมากๆ แต่ EM ก็ไม่ได้ถูกพูดถึงเท่าไหร่ในคอร์สมาตรฐานนอกจากที่บอกว่า ความเร็วแสง c = \sqrt{\mu_0 \epsilon_0}  โดยที่ \mu_0, \epsilon_0 เป็นค่าคงที่ที่ขึ้นกับตัวกลางของสสาร เราแทบจะนึกไม่ออกเลยว่า สองเรื่องนี้มันเข้ามาเกี่ยวกันได้ไง
  3. เราพอจะรู้มาบ้างว่า SR เป็นลิมิตนึงของ GR แต่ลิมิตของ SR อยู่ตรงไหน? เมื่อไหร่ที่จะต้องใช้ GR? แล้ว GR หน้าตาเป็นยังไง? อันนี้เป็นเรื่องที่ผมนึกไม่ออกเลยหลังจากเรียน SR

ซึ่งปัญหาพวกนี้ไม่ใช่ความล้มเหลวหรือความผิดอะไรของทฤษฎี แต่วิธีการพูดถึง SR แบบมาตรฐานไม่เอาเครื่องที่ทางคณิตศาสตร์ (ที่ไม่ยากเลย) เข้ามามองให้ SR เข้าถึงได้ง่ายขึ้น หรือ มองเห็นทฤษฎีอื่นๆได้ หรือ ทำให้ปรากฎการณ์ประหลาดๆที่ขัดกับ common sense โผล่มาแบบเป็นธรรมชาติ

โอเค…ถึงตอนนี้คุณอาจจะคิดว่าผมแม่ง บ้าคณิตศาสตร์ จู้จี้ และเรื่องมาก แต่คุณอาจจะไม่คิดอย่างงั้นถ้าผมจะบอกว่า SR เป็นทฤษฎีของ จุด, เส้นตรงและมุม

ในบทความตอนที่ 1 ผมจะเล่าเรื่องของเส้นตรงและมุม ที่ผมจะใช้ในการ formulate ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ รวมถึงสัญลักษณ์ที่ผมจะใช้

ก่อนอื่นเลย สมมติว่า ผมมีกระดาษแผ่นนึง ผมลากเส้นตรงหนึ่งสองเส้น ให้ปลายเส้นตรงออกจากจุดเดียวกัน เรียกเส้นสองเส้นนี้ว่า A กับ B ผมสามารถเขียนแกน x กับ แกน y แบบมาตรฐานได้ตามรูปที่ 1

Screen Shot 2015-07-17 at 11.26.22

รูปที่ 1 เส้นตรงสองเส้น A กับ B และแกน x กับ แกน y

ทีนี้ ผมสามารถที่จะเขียนความยาวของเส้น A กับ B ตามแกน x กับ แกน y เป็น A_x กับ A_y แล้วก็
B_x กับ B_y. ซึ่ง…เพื่อให้สัญลักษณ์ของผมกระชับขึ้น ผมของเขียนเป็น A^i กับ B^i ในที่นี้ไม่ใช่ยกกำลัง แต่ A^1 = A_x, A^2=A_y  สัญลักษณ์ชุดนี้จริงๆก็มีข้อจำกัดแต่ผมคิดว่าในบทความสำหรับเด็กน่าจะโอเคแล้ว (ผมพยามไม่ใช้ notation อะไรที่มันซับซ้อนเกินกว่าเรื่องที่ผมจะเขียน)

สมมติว่า ผมอยากหาความยาวของเส้นตรง คณิตศาสตร์ ม. ต้นบอกว่า ความยาวของเส้นตรง A (ใช้สัญลักษณ์เป็ร |A|) คือ

|A|^2 = \sum^2_{i=1}\sum^2_{j=1} g_{ij} A^iA^j

โดยที่ g_{ij} (เรียกว่า metric) ในที่นี้เป็น 2 x 2 matrix ที่ g_{11}=g_{22}=1 และ g_{12}=g_{21} = 0
ถ้ากำหนดให้ metric เป็นแบบนี้เราจะเห็นว่า

|A|^2 = A^1 A^1 + A^2 A^2

ตามกฎของพีธาโกรัสที่เรียนตอน ม.ต้น ต่อไป ถ้าผมอยากรู้ว่ามุมระหว่าง A กับ B มีค่าเป็นเท่าไหร่ ผมก็สามารถใช้คณิตศาสตร์ของเด็ก ม.3 (สมัยผม) ที่บอกว่ามุม \theta ระหว่าง A กับ B มีค่าเป็น

\cos\theta = \frac{A\cdot B}{|A||B|} = \frac{\sum_{i=1,2}\sum_{j=1,2} g_{ij}A^iB^j}{\sqrt{(\sum_{i=1,2}\sum_{j=1,2} g_{ij}A^iA^j)(\sum_{i=1,2}\sum_{j=1,2} g_{ij}B^iB^j)}}

ซึ่ง…เราจะเห็นว่าเครื่องหมาย \sum แม่งโผล่มายุ่บยั่บไปหน่อย เพราะงั้นเราจะใช้ตัวสัญลักษณ์ย่อๆให้สมการของเรากระชับขึ้นแบบนี้

g_{ij} A^i B^j = \sum_{i=1,2}\sum_{j=1,2} g_{ij} A^i B^j

มุม \theta ของเราในรูปของ $g_{ij}, A^i ,B^j$ ก็จะกระชับลงมานิดนึง เป็น

|A| |B| \cos\theta =g_{ij}A^iB^j

ระบบง่ายๆอันนี้ มีสมมาตรทุกอย่างที่ทฤษฎีซึ่งอธิบายอนุภาคอันเล็กๆ (ประมาณว่าเป็นจุด) ควรจะมี คือผมสามารถขยับแกน x,y ไปตรงไหนของกระดาษก็ได้(ตามรูปที่ 2 ซ้าย) หรือผมสามารถบิดแกน x,y ไปมาก็ได้ (ตามรูปที่ 2 ขวา) ถ้าผมเล่นกับแกน x,y แบบนี้ มุมกระหว่าง A กับ B หรือ ความยาวของเส้น A กับ B จะไม่เปลี่ยน พูดเป็นภาษาคณิตศาสตร์ขึ้นมาหน่อยคือ

g_{ij} A^i B^j = \text{const}

สำหรับเส้น A และ B ใดๆ  ข้อสังเกตอย่างนึงคือ ปริมาณที่ไม่เปลี่ยนไปเวลาผมเล่นกับแกน x-y จะเป็นปริมาณที่มี i,j อยู่ข้างบนและ ij อยู่ข้างล่าง จะเป็นปริมาณที่ไม่ขึ้นกับว่าผมเขียนแกน x-y ยังไง  เราเรียกของที่มีคุณสมบัติแบบนี้ว่า invaraint object

Screen Shot 2015-07-17 at 12.04.42 Screen Shot 2015-07-17 at 12.08.52

รูปที่ 2 : ขยับแกน x,y กับหมุนแกน x กับ y

สัญลักษณ์แบบนี้สามารถเอาไปใช้ต่อได้ทันทีในเรขาคณิตหลายมิติ จะเป็น 4,5,10,11,26 มิติก็ตามแต่ การเขียนเส้นและมุมแบบนี้ทำให้เราสามารถศึกษาเรขาคณิตที่ g_{ij} ไม่เป็น g_{11}=g_{22}=1 ได้ด้วย ในกรณีที่ metric ของเราเป็น
2 x 2 matrix ใดๆ ที่ g_{ij} = g_{ji} และ g_{ij}>0 สิ่งที่เราได้จะเป็นเรขาคณิตบนผิวโค้ง หรือ Riemannian geometry ซึ่งจะเป็นเครื่องมือหลักที่เราใช้ในการศึกษาทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

คำถามนอกรอบ 1: มุมภายในของสามเหลี่ยมเป็นเท่าไหร่ ถ้า g_{ij} เป็นฟังชั่นของ x กับ y

มาถึงตรงนี้ ผมยังไม่ได้บอกว่า เส้นและมุมพวกนี้จะไปเกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพได้ยังไง แต่เราอาจจะเคยได้ยินว่า GR เป็นทฤษฎีที่ว่าบอกว่า spacetime “โค้งงอ” ซึ่งคือกรณีที่ metric เป็น matrix ใดๆที่ผมบอกตะกี้นี้ ส่วน SR เป็นกรณีพิเศษ ที่ g_{ii}=1 การมอง SR ในมุมมองนี้ทำให้เราเห็นชัดๆเลยว่า SR เป็น special case ของ GR แล้วเราก็เห็นได้ด้วยว่าเราต้องเล่นกับปริมาณอะไรถึงจะได้ GR ออกมา

เราจะมาดูกันชัดๆว่าเกิดอะไรขึ้นในรูปที่ 2 ขวามือ เราสามารถเขียนพิกัดของปลายลูกศรของ A ในแกน x’-y’ ในรูปของพิกัดในแกน x-y ได้แบบนี้

A'^1 = A^1 \cos\phi + A^2 \sin\phi
A'^2 = A^1 \sin\phi + A^2 \cos\phi

คำถามนอกรอบ 2: โชว์ว่าสองสมการข้างบนนี้มาได้ยังไง แล้วก็โชว์ว่า g_{ij} A'^i A'^j = g_{ij} A^i A^k ซึ่งแปลว่าความยาวของ A ไม่เปลี่ยนไปเวลาเราหมุนแกน

ผมอยากเน้นย้ำตรงนี้ว่า ถึงแม้ว่า ขนาดของ A จะไม่เปลี่ยน แต่ความยาวของ A ตามแกน x,y จะขึ้นอยู่กับว่าเราวาด coordinate x-y เป็นแบบไหน

ทีนี้เราลองมาดูว่าถ้าเราเขียน metric เป็น g_{00}=-1 = - g_{11} โดยที่เปลี่ยน {ij} ในกรณีตะกี้นี้จาก {1,2} เป็น {0,1}จะเกิดอะไรขึ้น เราจะพบว่าความยาวของ A ใน metric นี้จะเป็น

|A|^2 = -A^0 A^0 + A^1 A^1

 เราจะเห็นว่าขนาดของ A จะเป็นได้ทั้ง 0, มากกว่า 0 หรือ น้อยกว่า 0 ก็ได้ เพื่อไม่ให้สับสน ต่อไปนี้ผมจะเรียก metric ที่ g_{00} = -1 และ g_{ii} = 1 ถ้า i > 1 ว่า \eta_{\mu\nu} โดยที่ \mu,\nu = 0,1,2,3,4
ซึ่ง\eta_{\mu\nu} มีชื่อเรียกอย่างเท่ว่า Minkowski metric

คำถามนอกรอบ 3: โชว์ว่า การหมุนแกนจาก x-y ไปเป็น x’-y’ ใน metric นี้ ทำได้โดยเขียน

A'^0 = A^0 \cosh\phi + A^1 \sinh\phi
A'^1 = A^0 \sinh\phi + A^1 \cosh\phi

ซึ่งการหมุนแกนแบบนี้ ก็มีชื่อเพราะพริ้งอีกเหมือนกัน เรียกว่า Lorentz transformation

หลังจากที่เราสาธยายมาหลายย่อหน้าแล้วว่า การขยับหรือหมุนแกนจะไม่ทำให้ขนาดของเส้นใดๆเปลี่ยนไป เราจะเห็นว่า เราไม่สามารถเปลี่ยนเส้นที่ |A|^2 =0 ไปเป็น |A|^2>0 หรือ |A|^2<0 น้อยกว่าหนึ่งได้ และในทำนองเดียวกันสำหรับ เส้นที่ |A|^2>0 และ |A|^2<0 คนเราเลย classify เส้นตรงสามแบบนี้ว่า

  • Null vector : |A|^2 =0
  • Timelike vector : |A|^2 <0
  • Spacelike vector : |A|^2 >0

สำหรับ null vector เราจะเจอสิ่งที่น่าสนใจอีกอย่างนึงคือ slope ของ A จะไม่เปลี่ยนไปเวลาเราทำ Lorentz transformation! (การขยับแกน x-y ไปมาแม่งไม่มีผลอะไรกับความชันของเส้นตรงอยู่แล้ว) ตามภาษาคณิตศาสตร์เราสามารถเขียนได้ว่า

\Delta A^0/ \Delta A^1 = \text{const}

สรุปสั้นคือเราสามารถเล่นกับระบบของเราได้สองอย่างคือ

  1. ขยับแกนไปมา
  2. หมุนแกนไปมา

ถ้าเล่นกับระบบของเราแบบนี้ได้แปลว่าระบบของเรามี symmetry ของการเลื่อนที่ และการหมุน

ปริมาณที่เราจะเล่นด้วยแบ่งเป็นสองประเภทหลักๆคือ

  • ปริมาณที่ขึ้นอยู่กับว่า เราวางแกน x-y ไว้ตรงไหน หรือหมุนไปหมุนมารึเปล่า ซึ่งคือของที่มี index ห้อยอยู่ข้างบนเช่น A^i, A^\mu หรือห้อยอยู่ข้างล่าง เช่น g_{ij} A^j, g_{\mu\nu} A^\mu
  • ปริมาณที่ invarraint (ไม่ขึ้นกับว่าเราวางแกน x-y ไว้ตรงไหนหรือยังไง) ได้แก่
    (i) ของที่ index บนและล่าง “ตัด”กันหมด เช่น ความยาวของเส้น g_{ij}A^iA^j, มุมระหว่างเส้นสองเส้น g_{ij} A^i B^j
    (ii) ในกรณีพิเศษ เวลา g_{ij} = \eta_{ij} เราจะมี invariant object ที่อย่างนึงคือความชันของเส้นตรง \Delta A^0/ \Delta A^1

นี่คือเครื่องมือทั้งหมดของเรา ที่ประกอบด้วยเส้นและมุม ซึ่งคณิตศาสตร์ง่ายๆพวกนี้เก็บ structure ของ SR และปริมาณทุกอย่างที่เราต้องใช้ในการอธิบายการเคลื่อนที่ไว้หมดแล้ว

ตอนต่อไปผมจะ สมมติฐานของ SR สองข้อ สามารถสรุปได้สวยๆในรูปของ invaraint objects และปรากฎการณ์ที่ฟังดูประหลาดๆใน SR โผล่มาแบบเป็นธรรมชาติมากๆ จากการศึกษาว่า A^i, g_{ij}A^j เปลี่ยนไปยังไงจากการหมุนของ coordinate system ที่เราใช้

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s

CQG+

The companion website to Classical and Quantum Gravity

Louk Rademaker's Physics site

Theoretical Condensed Matter Physics / Quantum Matter

quantum update

อัพเดท สาระน่ารู้ เทคโนโลยีควอนตัม และ ควอนตัมคอมพิวเตอร์

Shores of the Dirac Sea

A blog about physics... mostly.

The polymath blog

Massively collaborative mathematical projects

Quantum Frontiers

A blog by the Institute for Quantum Information and Matter @ Caltech

High Energy PhDs

A discussion of particle physics and strings

Tutanon

"Ever tried, ever failed, no matter. Try again, fail again, fail better." - Samuel Beckett

in theory

"Marge, I agree with you - in theory. In theory, communism works. In theory." -- Homer Simpson

Gowers's Weblog

Mathematics related discussions

What's new

Updates on my research and expository papers, discussion of open problems, and other maths-related topics. By Terence Tao

atomsofspacetime

Fay Dowker's website

Of Particular Significance

Conversations About Science with Theoretical Physicist Matt Strassler

ปีนป่าย

ปีนจากกะลา สู่โลกกว้างที่ ท้าทาย

Quendi in the UK

Love is All Around

ONGCHINA 's Blog

Chinese History and Culture, Travel.

%d bloggers like this: